일요일, 10월 21, 2018
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오디오의 주파수와 푸리에 변환 (2)

글쓴이 : SOONDORI

푸리에 변환은 미드 CSI 등 영화에서도 종종 등장한다.

빛도 전파와 같은 파장과 주파수 등 고유속성이 있는데 특정 파장의 광을 테스트 물질에 조사하면서 광을 흡수, 산란하는 패턴을 관찰하면 어떤 물질인지를 판단할 수 있다. (물론 비교를 위한 스펙트럼 패턴은 미리 준비되어 있다) 사건 현장에서 채취한 증거들을 트레이에 넣으면 화학적 성분들을 자동으로 분석하고 차트로 출력해주는 멋진 기기들… 그 안에는 푸리에 변환기가 들어 있다.

(예 : 순수 톨루엔의 스펙트럼. X축은 파장, Y축은 투광도)

이전 글에서 오디오 주파수를 다루는 푸리에 변환을 개관해보았는데 이제, 시간-강도로 표현되는 입력신호의 푸리에 변환 결과물(주파수-강도 파형)을 눈 앞에 놓고 그것을 어떻게 해석하는 지를 정리해보고자 한다.

오디오의 주파수와 푸리에 변환 (1)

 

■ 고조파(Harmonic Frequency)는 Everywhere!

‘고주파(高周波)’는 높은 진동수의 주파수를, 단어 하나가 다른 ‘고조파(高調波)는 원래 신호에 대해 모종의 사유로 추가 생성되는 파생신호들을 일컷는 말이다.

예를 들어 어떤 발진회로가 만들어내고 있는 1Khz 싸인파를 푸리에변환기(=Spectrum Analyzer)를 통해 관찰하면 의도한 1Khz 이외의 더 높은 혹은 더 낮은 파생 주파수들 즉, 대칭성이 있는 고조파들이 관측된다. 이때 차수(次數, Harmonic Order) 개념이 등장하는데 1차는 목적하는 신호 또는 원래 신호(Fundamental Frequency)를, 나머지 2차… n차는 배수(倍數, 순서)로 나타나는 파생신호들의 집합체인 고조파이다. 다른 변수가 없다면 차수가 커질 수록 높은쪽과 낮은 쪽 고조파들의 강도는 점점 약해진다.

(스펙트럼 분석기 화면 예시. 세 번째, 가장 높은 것이 Fundamental Frequency 즉, 관측대상인 기본 주파수이고 나머지들은 원래 신호에 종속되어 생긴 고조파들. 고조파는 기준 주파수의 양쪽에 동시 표현된다)

(양립성을 보여주는 샘플화면. 좌측 그래프는 대칭성을 고려하여 절반만 보여준 사례. 출처 및 참조 글 : http://www.ni.com/newsletter/51446/en/)

그나저나 고조파는 왜 생성되는 것일까? 이 세상의 전자회로들은 소자, 회로의 비선형성(Non-Linearity) 때문에 말처럼 원론적으로 동작하지 않는다. 그러므로 회로 동작 시 무조건 생긴다고 보면 되고 바로 그 점에서 불요 고조파를 얼마나 줄였는가는 전자회로의 주요 평가요소가 된다.

■ 오디오 재생주파수 분석

White Noise(온갖 주파수가 균일한 강도로 기록된 소스음)를 앰프 입력으로 하고 스피커 출력을 픽업, 푸리에 변환기에 걸어 관찰하면 다음과 같은 그래프를 얻을 수 있다. 만일에 앰프와 스피커가 100% 이상적으로 작동했다면 그래프는 X축 관측 구간을 기준으로 한 개의 수평선으로 그려질 것이다.

■ 왜율의 평가

증폭기 입력에 100% 완벽한 싸인파를 주입했고 그 앰프가 일체의 왜곡(찌그러짐, Distortion)이 없이 100% 그 싸인파의 강도만 크게 만든다면? 가장 바람직한 증폭회로이다. 그런데 현실에서는 불가능에 가까운 일이고 어쩔 수 없이 왜곡이 발생한다.

예를 들어 앰프 출력을 스펙트럼분석기 즉, 푸리에 변환기로 관찰하면 반드시 우측 하단과 같은 파형들(그림에서는 양립 대칭된 스펙트럼의 한 쪽만 표현 중)이 나타나는데 여기서, 눈에 들어오는 n차 파형들의 갯수가 많을 수록 그리고 각각의 강도가 높게 나타나는 만큼 앰프의 왜곡은 큰 것이다. 

(출처 : http://hydrogen.physik.uni-wuppertal.de/hyperphysics/hyperphysics/hbase/audio/imgaud/amp2.gif)

사운드 찌그러짐인 왜곡은 작은 포켓 라디오의 배터리가 거의 다 된 상태에서 볼륨을 최대로 키울 때의 거북스러운 소리를 상상하면 되겠다. 이에 비교되는 가정용 오디오의 왜율(왜곡의 비율*)과 찌그러짐의 종합지표인 THD(Total Harmonic Distortion)는 커봐야 0.0x% 이하로 그 값이 상당히 낮기 때문에 통상의 볼륨 각도에서 음 왜곡을 경험하기는 어렵다. 집 안에서 100W 앰프를 최대치로 틀 일이 있을까?

* 왜곡은 위상 변형없는 선형 왜곡(Linear Distortion)과 비선형 왜곡으로 구성되고 THD는 다양한 왜곡을 종합적으로 평가하는 지수로 별도 조건과 계산식이 있다.

■ 진공관 짝수배음, 트랜지스터 홀수배음

흔히 진공관의 경우 ‘짝수 배음’ 특성이 있어서 사람이 가장 편안하게 음을 들을 수 있다고 말한다. 여기서 말하는 배음’은 무슨 말일까?

아래 그래프는 단일한 신호입력에 대한 진공관, 트랜지스터의 반응 스펙트럼(=푸리에 변환의 결과)을 보여주고 있다. 1~6차 고조파들에 대해서 짝수 차수마다 Tube  > 트랜지스터이고 홀수 차수마다 Tube < 트랜지스터이다. 말인 즉, 진공관은 짝수 배음(n차 즉, 倍數를 갖는 음)에서 우월하고 트랜지스터는 홀수 배음에서 우월한 특성(*)을 보여주고 있다는 것.

(출처 : https://www.guitar-list.com/guitar-science/tube-versus-solid-state-amplifiers, 그래프 출처 : Tubes Versus Transistors in Electric Guitar Amplifiers.” Acoustics, Speech, and Signal Processing, IEEE International Conference on ICASSP ’81, Apr. 1981)

* 여기서 언급된 우월함은 “진공관 앰프와 트랜지스터 앰프의 재생특성이 각기 다르다” 정도의 의미로 해석되는 것이 좋겠다. 왜냐하면 진공관 음이 더 부드럽고 좋다는 의견의 배경에는 진공관 짝수 배음이 악기들의 옥타브 위계(A 옥타브의 두 배 주파수는 A’옥타브. 즉, 짝수배)와 맞아 떨어지고 그래서 재생 음이 더 익숙하게 들린다는 논리(가정)가 있는데 그 차이가 현격한 것이 아니고 오디오 시장에는 부실하거나 엉망인 진공관 앰프들이 많이 있어 무조건 맞는 이야기는 아니기 때문이다.

■ 선택적 필터

온갖 RF 신호를 입력받고 그것을 Frequency Domain으로 변환한 다음 잘 살펴보면 여하한 방법으로 특정 주파수 범위만 선택적으로 골라낼 수 있다. 구예를 들어, “콕! 꼬집어 통과시킨다”는 식의, 전자회로나 소프트웨어로 만들어진 Low Pass, High Pass, Band-Pass Filter는 푸리에 변환을 거쳐 나열된 어떤 주파수 스펙트럼에서 내가 원하는 중심주파수 ± 허용되는 대역신호를 상상하고 원하는 것을 선별해 내는 것과 같다.

예를 들어 아래 그림은 Software Low Pass Filter로 어떤 음을 부드럽게 가공한 결과물과 원본 신호를 보기 좋게 중첩해서 표현해 놓았다.

(출처 : https://kiritchatterjee.files.wordpress.com/2014/11/g39761.png)

그 가공 프로세스들에 있어서 푸리에 변환의 개입과 이후 시각적 인식의 단계들을 조합, 재구성해본다면 다음과 같다.

(머리 속 상상의 방법론)

■ DSP와 동조

무한정한 범위의 전파들이 안테나를 타고 들어올 때 꼭 필요한 주파수(방송국)만 선별하는 행위 즉 동조는 코일(L)과 커패시터(C)로 구성된 회로가 특정한 주파수가 잘 흐르게 만드는 수단이고 어찌보면 일종의 Band Pass Filter인 셈. 자, 필터라고 한다면  L과 C를 쓰지 않는 동조도 가능할까? 균일한 신호강도에 대하여 주파수만 가변되는 FM에서 DSP와 프로그램적 조치/칩 내부의 논리적 조치로 얼마든지 가능하다.

(DSP 튜너의 선국도가 아나로그 튜너보다 좋을 수 밖에 없다는 글의 삽입자료)

위 그래프는 (강도-시간축으로 표현될 수 있는 온갖 전파들의 유입에 대하여) 강도-주파수(Mhz)로 표현되는 DSP 칩의 동조특성을 설명하고 있는데 마침 X축은 주파수, Y축은 강도이므로 푸리에 변환의 시각으로 바라본 설명으로 간주해도 된다.

(KT0915 One Chip DSP 라디오 회로도 예시)

■ 안테나 수신 파장

방송국에서 기준 주파수(Carrier)에 음성신호를 실어 전파를 방사하면 그 파동 에너지는 원격지 안테나에 전달되고 다시 수신회로로 흐른다. 원론상 수신 안테나는 다음과 같은 전파-파장의 기본공식에 의한  전(全) 파장을 수용해야 한다.

파장=299,792,458(전파의 이동속도) ÷ 대상 주파수(Hz)
600Khz AM이라면 499.65m → Ground Effect를 고려, 1/2을 전 파장으로 볼 때 그 길이는 약 250m
93.1Mhz FM이라면 3.22m → 1/2이라면 1.61m

그런데 안테나가 커지면 실용성은 떨어질 수밖에 없다. 그래서 1/2, 1/4, 5/8, 10/16 등 일정한 함수식에 의해 결정된 길이의, 짧은 안테나를 사용하게 되는데 이때의 단축 안테나는 전 파장 안테나가 정의하는 기준 주파수가 아니라 그것에서 파생되는 ‘n차 수 고조파’를 수신하게 되는 셈이다.

(출처 : http://hamwaves.com/cl-ocfd/en/index.html)

이런 것을 어찌 알아냈을까? 안테나는 ‘쌍대성’이 있어서 송신과 수신의 특성이 같은데 송신파형을 푸리에 변환기로 관찰하면 수신상태가 어떨 지를 눈으로 확인할 수 있다. 참고로 위 그래프에서 실시간으로 계속 유입되는 전파신호에 대하여 주요 표현요소인 시간(Time)은 배제되고 오로지 강도와 주파수 두 가지만으로 그래프가 그려졌다는 점에 주목한다.

 

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